Demonstração por redução ao absurdo:

Quando o matemático constrói um sistema de números ou uma geometria, sem se perguntar antes o que é número ou vizinhança espacial (livre para refletir sobre isto posteriormente, numa teoria dos “fundamentos”), ele tem o direito de assim proceder, porque se fundamenta num corpo de verdades prévias (mesmo que ele as diferencie a seu modo), que são as próprias verdades lógicas. Mas quem pretende analisar estas últimas sistematicamente é obrigado a se apoiar em alguma coisa, mesmo que seja sobre a evidência do pensamento refletido. (Piaget, 1976 p. 2)
Não se sabe exatamente quando o elemento dedutivo foi introduzido na matemática.
Alguns historiadores sustentam os argumentos de Zeno de Elea como possível inspiração para a necessidade de um método racional que substituísse as receitas matemáticas.
Seja como for, a lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento o PRINCÍPIO DA NÃO-CONTRADIÇÃO (uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo) e o PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO (toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, isto é, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro).
Assim, no que diz respeito à argumentação envolvida no processo de uma demonstração por redução ao absurdo, temos:
Para estabelecer a veracidade de uma proposição p, devemos assumir não p e, por um processo de dedução, estabelecemos que, para alguma proposição q, não p implica em q e não q.
Todavia, como qualquer que seja q, q e não q é falsa, isso significa que não(q e não q) é verdadeira.
Em outros termos, não(não p) é verdadeira, ou seja, p é verdadeira.

Fonte: http://www.projetozk.ufjf.br/base_p/ensaios/ensaio3/ant_absurdo.htm